How long will it take a log to float from the grove to the dam?

Задача по физике

Бобры заметили, что плавание от плотины к роще по реке занимает время t₁, а обратное плавание по реке от рощи к плотине занимает время t₂, причем t₁ < t₂.

Сколько времени будет плыть бревно от плотины к роще?

Решение:

Пусть скорость течения реки равна $�$, скорость бобра в стоячей воде равна $�$, а расстояние между плотиной и рощей равно $�$.

Когда бобры плывут по течению от плотины к роще, их скорость относительно берега равна $�+�$, и время плавания равно: ${�}_1=\frac{�}{�+�}$

Когда бобры плывут против течения от рощи к плотине, их скорость относительно берега равна $�-�$, и время плавания равно: ${�}_2=\frac{�}{�-�}$

Бревно, плывущее по течению, будет двигаться со скоростью течения реки $�$. Таким образом, время, за которое бревно проплывет от рощи до плотины, равно: ${�}_{\text{бревно}}=\frac{�}{�}$

Чтобы найти $�$, мы можем выразить его через ${�}_1$ и ${�}_2$. Сначала найдем $�+�$ и $�-�$: $�+�=\frac{�}{{�}_1}$ $�-�=\frac{�}{{�}_2}$

Сложим эти два уравнения: $2�=\frac{�}{{�}_1}+\frac{�}{{�}_2}$ $�=\frac{�}{2}(\frac{1}{{�}_1}+\frac{1}{{�}_2})$

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $2�=\frac{�}{{�}_1}-\frac{�}{{�}_2}$ $�=\frac{�}{2}(\frac{1}{{�}_1}-\frac{1}{{�}_2})$

Теперь подставим $�$ в уравнение для времени плавания бревна: ${�}_{\text{бревно}}=\frac{�}{�}=\frac{�}{\frac{�}{2}(\frac{1}{{�}_1}-\frac{1}{{�}_2})}=\frac{2}{\frac{1}{{�}_1}-\frac{1}{{�}_2}}=\frac{2{�}_1{�}_2}{{�}_2-{�}_1}$

Таким образом, бревно будет плыть от плотины к роще за время ${�}_{\text{бревно}}=\frac{2{�}_1{�}_2}{{�}_2-{�}_1}$.