Задача о двух телах, скрепленных вместе

Задача:

Если неизвестная результирующая сила, действуя на первое тело, вызывает его ускорение a1,
а действуя на второе тело вызывает его ускорение a2,
то какое ускорение вызовет эта результирующая сила, действуя на эти два тела, скрепленных между собой?

If an unknown net force acting on the first body causes its acceleration a1, and acting on the second body causes its acceleration a2, then what acceleration will this net force cause when acting on these two bodies fastened together?


Решение:

По второму закону Ньютона ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально его массе:

${�}_1=\frac{�}{{�}_1},{�}_2=\frac{�}{{�}_2}$

Теперь рассмотрим систему из двух скрепленных тел. Их общая масса равна ${�}_1+{�}_2$, а результирующая сила, действующая на систему, по-прежнему равна $�$. Тогда ускорение системы $�$ равно:

$�=\frac{�}{{�}_1+{�}_2}$

Теперь используем соотношения для ${�}_1$ и ${�}_2$ чтобы выразить массы:

${�}_1=\frac{�}{{�}_1},{�}_2=\frac{�}{{�}_2}$

Подставим эти выражения в формулу для ускорения системы:

$�=\frac{�}{\frac{�}{{�}_1}+\frac{�}{{�}_2}}=\frac{�}{�}\cdot \frac{{�}_1{�}_2}{{�}_1+{�}_2}=\frac{{�}_1{�}_2}{{�}_1+{�}_2}$

Таким образом, ускорение системы из двух скрепленных между собой тел, на которую действует та же результирующая сила, равно $\frac{{�}_1{�}_2}{{�}_1+{�}_2}$.